Спасибо, Абу!

Бмп

Бамп

>>136228553 (OP)
Бамп

Бамп
>>136228553 (OP)
З

>>136228553 (OP)
Бамп

Бамп

>>136228553 (OP)
Бамп

Бамп

Бамп

Бамп

Квантовая теория поля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль].

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. Нерелятивистское уравнение Шредингера соответствует классической связи кинетической энергии и импульса частицы {\displaystyle E=p^{2}/2m} E=p^2/2m. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} E^2=p^2c^2+m^2c^4. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, в 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (бесспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Однако, проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иной подход был реализован в 1928 году Дираком. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса. С учетом того же релятивистского соотношения энергии и импульса на квадрат этого оператора налагаются ограничения. Соответственно и линейные «коэффициенты» также должны удовлетворять определенному ограничению, а именно их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а «волновая функция» — четырёхкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В результате было получено уравнение Дирака, в котором участвуют т. н. 4-матрицы Дирака и четырёхкомпонентная «волновая функция». Формально уравнение Дирака записывается в виде, аналогичном уравнению Шредингера с гамильтонианом Дирака. Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Таким образом, переход к релятивистски инвариантным уравнениям приводит к нестандартным волновым функциям и многочастичным интерпретациям. Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Релятивистские уравнения Клейна-Гордона и Дирака рассматриваются в квантовой теории поля как уравнения для операторных полевых функций. Соответственно вводится в рассмотрение «новое» гильбертово пространство состояний системы квантовых полей, на которые действуют указанные полевые операторы. Поэтому иногда процедуру квантования полей называют «вторичным квантованием».

огласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно {\displaystyle s} s-параметрической группы преобразований приводит к {\displaystyle s} s динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций {\displaystyle F^{\mu }(x,\omega )} F^{{\mu }}(x,\omega ), а полевой функции — с помощью функции {\displaystyle U(x,\omega )} U(x,\omega ), где {\displaystyle {\omega }} {\omega } — совокупность {\displaystyle s} s параметров. Обозначим {\displaystyle u_{k}} u_{k} значение производной функции {\displaystyle U} U по {\displaystyle k} k-му параметру при нулевом значении параметров, а через {\displaystyle f_{k}^{\mu }} f_{k}^{{\mu }} — значения производных функций {\displaystyle F^{\mu }(x,\omega )} F^{{\mu }}(x,\omega ) по {\displaystyle k} k-му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований.

Тогда нётеровские токи, определенные как {\displaystyle J_{k}^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}(\partial _{\nu }\psi f_{k}^{\nu }-u_{k})-f_{k}^{\mu }{\mathcal {L}}} J_{k}^{{\mu }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{{\mu }}\psi )}}(\partial _{{\nu }}\psi f_{k}^{{\nu }}-u_{k})-f_{k}^{{\mu }}{\mathcal {L}} обладают свойством {\displaystyle \partial _{\mu }J_{k}^{\mu }=0} \partial _{{\mu }}J_{k}^{{\mu }}=0. Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов {\displaystyle C_{k}=\int d^{3}xJ_{k}^{0}} C_{k}=\int d^{3}xJ_{k}^{0}

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы {\displaystyle U(1)} U(1) — группы умножений на {\displaystyle e^{i\alpha }} e^{{i\alpha }}. Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряженных функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель {\displaystyle e^{i\alpha }} e^{{i\alpha }} не приводит к каким-либо изменениям.

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Квантование означает переход от полей (полевых функций) к соответствующим операторам (операторнозначным функциям), действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве, которое называется пространством Фока.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, как и классическое выражение этих величин через полевые функции (с учетом порядка перемножения, поскольку умножение операторов в общем случае некоммутативно, в отличие от произведения обычных функций). Скобка Пуассона (см. гамильтонов формализм) заменяется на коммутатор соответствующих операторов. В частности, классический гамильтонов формализм трансформируется в квантовый следующим образом:

{\displaystyle [\psi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {x'} ,t)]=[\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {x'} ,t)]=0} [\psi ({\mathbf {x}},t),\psi ({\mathbf {x'}},t)]=[\pi ({\mathbf {x}},t),\pi ({\mathbf {x'}},t)]=0, {\displaystyle [\pi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {x'} ,t)]=-i\delta ^{(3)}(\mathbf {x-x'} )} [\pi ({\mathbf {x}},t),\psi ({\mathbf {x'}},t)]=-i\delta ^{{(3)}}({\mathbf {x-x'}})
Это так называемые коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна, основанные на обычном коммутаторе — разность «прямого» и «обратного» произведения операторов

{\displaystyle [A,B]=AB-BA} [A,B]=AB-BA
Коммутационные соотношения Ферми-Дирака основаны на антикоммутаторе — сумма «прямого» и «обратного» произведения операторов:

{\displaystyle [A,B]_{+}=AB+BA} [A,B]_{+}=AB+BA
Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

Из коммутационных соотношений для полевой функции (обобщенной координаты) и соответствующего обобщенного импульса можно получить коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения квантов

{\displaystyle [a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }^{+}]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),[a_{\mathbf {p} },a_{\mathbf {p'} }]=[a_{\mathbf {p} }^{+},a_{\mathbf {p'} }^{+}]=0} [a_{{{\mathbf {p}}}},a_{{{\mathbf {p'}}}}^{+}]=\delta ({\mathbf {p}}-{\mathbf {p'}}),[a_{{{\mathbf {p}}}},a_{{{\mathbf {p'}}}}]=[a_{{{\mathbf {p}}}}^{+},a_{{{\mathbf {p'}}}}^{+}]=0

В квантовой теории поля гамильтониан, первоначально выраженный как функция {\displaystyle \psi } \psi и {\displaystyle \pi } \pi в конечном итоге также выражается через соответствующие операторы рождения и уничтожения квантов полей. Главный принцип сохраняется — любые операторы (в том числе и гамильтониан) выражаются через эти операторы рождения и уничтожения также как соответствующие функции до квантования. Единственное различие — порядок записи операторов имеет значение, так как операторы, в отличие от обычных функций, в общем случае некоммутативны.

Все операторы рождения и уничтожения и их комбинации, операторы самих полей и их производных — все они действую в бесконечномерном пространстве Фока. В пространстве Фока в первую очередь определяется вакуум (вакуумное состояние) {\displaystyle \Phi _{0}} \Phi _{0} или {\displaystyle |0\rangle } |0\rangle , по аналогии с нулевым состоянием квантового осциллятора. Вакуум определяется как


{\displaystyle a(\mathbf {p} )|0\rangle =\langle 0|a^{+}(\mathbf {p} )=0,\langle 0|0\rangle =1} {\displaystyle a(\mathbf {p} )|0\rangle =\langle 0|a^{+}(\mathbf {p} )=0,\langle 0|0\rangle =1}

Произвольные состояния задаются как возбуждения вакуума следующего вида:

{\displaystyle |f\rangle =\int d^{3}\mathbf {p_{1}} d^{3}\mathbf {p_{2}} ...d^{3}\mathbf {p_{k}} f(\mathbf {p_{1}} ,\mathbf {p_{2}} ,...,\mathbf {p_{k}} )a^{+}(\mathbf {p_{1}} )a^{+}(\mathbf {p_{2}} )...a^{+}(\mathbf {p_{k}} )|0\rangle } {\displaystyle |f\rangle =\int d^{3}\mathbf {p_{1}} d^{3}\mathbf {p_{2}} ...d^{3}\mathbf {p_{k}} f(\mathbf {p_{1}} ,\mathbf {p_{2}} ,...,\mathbf {p_{k}} )a^{+}(\mathbf {p_{1}} )a^{+}(\mathbf {p_{2}} )...a^{+}(\mathbf {p_{k}} )|0\rangle },

Это и есть фоковское представление для k-частичного состояния. Функции f являются обычными квантово-механическими волновыми функциями. Обычно они предполагаются квадратично-интегрируемыми, чтобы нормы векторов состояний были конечными величинами. Однако, состояния с бесконечной нормой тоже имеют смысл. Например, состояние {\displaystyle a^{+}(\mathbf {p} )|0\rangle } {\displaystyle a^{+}(\mathbf {p} )|0\rangle } имеет бесконечную норму {\displaystyle (\delta (0))} (\delta (0)), однако это состояние соответствует одночастичному состоянию с определенным импульсом и если рассматривать пространственную плотность таких частиц, то она оказывается конечной

Нормальное и хронологическое произведение. Теорема Вика[править | править вики-текст]
Из определения вакуума следует, что вакуумное среднее произведения любого количества операторов рождения и уничтожения, в котором все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения, равно нулю. Соответствующий порядок написания операторов рождения и уничтожения называется нормальной формой или нормальным упорядочением. Чтобы подчеркнуть, что операторы нормально упорядочены соответствующие произведения заключаются в скобки из двоеточий, например, {\displaystyle :\phi (x)\phi (y):} :\phi (x)\phi (y): или можно указать под знаком некоторого условного оператора {\displaystyle {\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}} {\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}

Нормальная форма, очевидно, связана с обычной через коммутатор операторов, а именно «обычная» форма равна нормальной форме плюс (анти)коммутатор соответствующих операторов («неправильно» упорядоченных). Например,

{\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y)} \phi (x)\phi (y)=\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y)

В этой записи лишь одно слагаемое записано не в нормальной форме, соответственно можно записать

{\displaystyle \phi (x)\phi (y)=(\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y))+(\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)-\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x))={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]} \phi (x)\phi (y)=(\phi ^{+}(x)\phi ^{+}(y)+\phi ^{+}(x)\phi ^{-}(y)+\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x)+\phi ^{-}(x)\phi ^{-}(y))+(\phi ^{-}(x)\phi ^{+}(y)-\phi ^{+}(y)\phi ^{-}(x))={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+[\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]

Тем самым, вакуумное среднее от исходного произведения операторов по существу будет определятся только последним коммутатором.

Хронологическое произведение определяется как упорядоченное по временной переменной (нулевой компоненте 4-координат) произведение:

{\displaystyle Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{\sigma }f_{i_{1}}(x_{i_{1}})f_{i_{2}}(x_{i_{2}})...f_{i_{n}}(x_{i_{n}})} Tf_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2})...f_{n}(x_{n})=(-1)^{{\sigma }}f_{{i_{1}}}(x_{{i_{1}}})f_{{i_{2}}}(x_{{i_{2}}})...f_{{i_{n}}}(x_{{i_{n}}}), где {\displaystyle x_{i_{1}}^{0}>x_{i_{1}}^{0}>...>x_{i_{n}}^{0}} x_{{i_{1}}}^{0}>x_{{i_{1}}}^{0}>...>x_{{i_{n}}}^{0}

где {\displaystyle {\sigma }} {\sigma } — число перестановок фермионных полей между собой в ходе T-упорядочения (перестановка бозонных полей не влияет на знак).

Рассмотрим простейший случай произведения пары полевых функций в разных пространственно-временных точках {\displaystyle \phi (x)\phi (y)} \phi (x)\phi (y). Как было указано выше данное произведение операторов можно выразить через нормальную форму плюс коммутатор. Под знаком хронологического упорядочения здесь нужно сделать модификацию — вместо коммутатора нужно использовать так называемую свертку {\displaystyle {\overline {\phi (x)\phi (y)}}} \overline {\phi (x)\phi (y)}, равную коммутатору {\displaystyle [\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)]} [\phi ^{-}(x),\phi ^{+}(y)], если {\displaystyle x^{0}>y^{0}} x^{0}>y^{0} и коммутатору {\displaystyle [\phi ^{-}(y),\phi ^{+}(x)]} [\phi ^{-}(y),\phi ^{+}(x)] если {\displaystyle y^{0}>x^{0}} y^{0}>x^{0}. Таким образом, хронологическое произведение двух полевых функций равно их произведению в нормальной форме плюс свертка:

{\displaystyle {\mathcal {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+{\overline {\phi (x)\phi (y)}}} {\mathcal {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}={\mathcal {N}}\{\phi (x)\phi (y)\}+\overline {\phi (x)\phi (y)}

Теорема Вика обобщает данное представление на случай произвольного количества множителей:

{\displaystyle {\mathcal {T}}\{f_{1}f_{2}...f_{n})\}=\sum (-1)^{\sigma }{\overline {f_{i_{1}}f_{i_{2}}}}...{\overline {f_{i_{k-1}}f_{i_{k}}}}{\mathcal {N}}\{f_{i_{k+1}}...f_{i_{n}}\}} {\mathcal {T}}\{f_{1}f_{2}...f_{n})\}=\sum (-1)^{{\sigma }}\overline {f_{{i_{1}}}f_{{i_{2}}}}...\overline {f_{{i_{{k-1}}}}f_{{i_{k}}}}{\mathcal {N}}\{f_{{i_{{k+1}}}}...f_{{i_{n}}}\}.

где сумма берется по всем возможным попарным сверткам функций ( {\displaystyle k} k — четные числа от 0 до {\displaystyle n} n).

Основные коммутационные соотношения[править | править вики-текст]

Правила Фейнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:

{\displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=\langle Tu_{a}(x)u_{b}(y)\rangle _{0}} {\displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=\langle Tu_{a}(x)u_{b}(y)\rangle _{0}}
которые также равны причинным функциям Грина этих полей:

{\displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=i\delta _{a,b}\Delta _{a}^{c}(x-y)} {\displaystyle u_{a}(x)u_{b}(y)=i\delta _{a,b}\Delta _{a}^{c}(x-y)}
Наряду с пропагаторами {\displaystyle i\Delta (x-y)} {\displaystyle i\Delta (x-y)}, которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности правил Фейнмана

правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции
более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.
В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы {\displaystyle \Delta _{a}(p)} {\displaystyle \Delta _{a}(p)}, которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.

Составными элементами диаграммы Фейнмана являются вершины, внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}} {\mathcal {L}}_{1}, а набор внешних и внутренних линий — структурой {\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}} {\mathcal {L}}_{0}. Каждому моному по полям в {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}} {\mathcal {L}}_{1} соответствует определённый тип вершин, а каждому виду поля в {\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}} {\mathcal {L}}_{0} определённый тип линий. Если поле нейтральное (соответствующая частица совпадает со своей античастицей), то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Image1 feynmann diagrams.PNG
Существуют так называемые правила Фейнмана, которые сопоставляют каждому элементу диаграммы Фейнмана определенные математические объекты (величины и операции), так что по диаграмме Фейнмана можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем диаграммы Фейнмана позволяют такому вкладу дать наглядную классическую интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отдельному превращению соответствует вершина, внутренним линиям — распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внешним линиям — волновые функции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе.

В качестве примера рассмотрим диаграммы Фейнмана в квантовой электродинамике (КЭД), которая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая — к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению основной частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона) — движение против стрелки.

Каждая диаграмма Фейнмана имеет несколько интерпретаций в зависимости от направления движения вдоль линий этой диаграммы. Так, для диаграммы Фейнмана, изображённой на рис. 3, допустимы следующие варианты.

Движение по линиям слева направо — рассеяние фотона на электроне. В вершине 1 начальный электрон поглощает начальный фотон, при этом образуется промежуточный электрон, который распространяется от вершины 1 к вершине 2. Здесь он излучает конечный фотон и превращается в конечный электрон. Результатом процесса является перераспределение 4-импульса (энергии и импульса) между электроном и фотоном.
Движение по линиям справа налево — рассеяние фотона на позитроне.
Движение снизу вверх — аннигиляция электрона и позитрона с превращением их в два фотона.
Движение сверху вниз — рождение электрон-позитронной пары при столкновении двух фотонов.

Вакуумом в квантовой электродинамике называется состояние, в котором у всех осцилляторов {\displaystyle n=0} n=0, следовательно энергия каждого осциллятора равна {\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}} \frac{\hbar \omega}{2}, где {\displaystyle \omega } \omega — собственная частота осциллятора. Сумма всех мод осцилляторов с частотами от нуля до бесконечности равна бесконечности. На практике этой расходимостью пренебрегают и энергию вакуумного состояния принимают равной нулю. Остается открытым вопрос: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобно массе, распределенной с постоянной плотностью? По «правилу обрезания» моды с очень большими частотами исключаются из рассмотрения. Плотность энергии вакуумного состояния {\displaystyle {\frac {E}{V}}=2{\frac {\hbar c}{2{(2\pi )}^{3}}}\int \limits _{0}^{k_{max}}k4\pi k^{2}dk={\frac {\hbar ck_{max}^{4}}{8\pi ^{2}}}} \frac{E}{V} = 2 \frac{\hbar c}{2{(2 \pi)}^{3}} \int \limits_{0}^{k_{max}} k 4 \pi k^{2} dk = \frac{\hbar c k_{max}^{4}}{8 \pi^{2}}. Подставляя значение {\displaystyle k_{max}={\frac {Mc}{\hbar }}} k_{max} = \frac{Mc}{\hbar}, где {\displaystyle M} M — масса протона, получаем значение плотности массы, эквивалентное этой энергии: {\displaystyle m_{vak}={\frac {E}{Vc^{2}}}=210^{15}} m_{vak} = \frac{E}{V c^{2}} = 2 10^{15} грамм на кубический сантиметр пространства. Гравитационные эффекты, соответствующие этой энергии вакуума, не обнаружены.[7] Не удается вычислить энергию вакуума как собственное значение для гамильтониана вакуумного состояния, а при применении методов теории возмущений к расчету вероятности перехода из вакуумного состояния в состояние с фотоном и электронно-позитронной парой получаются расходящиеся интегралы.[8]

Расходимость рядов[править | править вики-текст]
При расчете вероятностей процессов в квантовой электродинамике методом возмущений к выражению для амплитуды процесса последовательно добавляются слагаемые вида {\displaystyle n!\alpha ^{n}} n! \alpha^n , где {\displaystyle \alpha } \alpha — постоянная тонкой структуры, {\displaystyle n} n — число вершин на диаграммах Фейнмана в данном приближении. Ряды вида {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n!\alpha ^{n}} \sum_{n=1}^{\infty}n! \alpha^n , являются расходящимися. В опытах данная расходимость не проявляется, поскольку предельная точность вычислений при помощи таких рядов составляет {\displaystyle 10^{-57}\%} 10^{{-57}}\%[2]

Расходимость интегралов[править | править вики-текст]
Требование локальности взаимодействия между частицами в квантовой электродинамике приводит к тому, что интегралы по пространству, описывающие процессы взаимодействия частиц, оказываются расходящимися за счет больших импульсов виртуальных частиц. Это свидетельствует о неприменимости принятых в квантовой электродинамике методов описания взаимодействий на малых расстояниях.[9]